La факторизиране на алгебричен израз Това е процедурата, чрез която споменатият израз се записва като умножение на по-прости множители. С други думи, при разлагане на полиноми, целта е да се намерят термини, които, когато се умножат, водят до същия алгебричен израз на произход.
Този процес е от изключително значение в алгебрата, тъй като позволява уравненията да бъдат опростени и направени много по-управляеми. Освен това, една от най-важните цели при факторизиране на полином е да го представи като произведение на други полиноми от по-ниска степен.
За да разберем по-добре концепцията, нека разгледаме основен пример:
Алгебричен израз: x(x + y)
Като умножим членовете на този израз, получаваме:
x2 +xy
По този начин: x(x + y) = x2 +xy
La факторинг Той е полезен не само защото опростява решаването на проблеми, но и защото ви позволява да идентифицирате свойства и връзки между членовете на алгебричен израз.
Общият фактор
Преди да започнете с техниките за факторизация, важно е да разберете какво означава терминът. общ фактор. Чрез търсене на общия множител в рамките на полином, ние се стремим да идентифицираме член, който се повтаря във всички членове на израза, което ни позволява да го опростим.
Важно е обаче да се отбележи, че факторингът не винаги е възможен. За да се факторизира, трябва да има поне един общ термин, с който да работим. В противен случай не може да бъде опростено допълнително.
Например в израза:
xa + yb + zc
Няма такива общ фактор между термините, така че факторизацията не може да бъде извършена.
Нека да разгледаме друг случай, когато това е възможно:
a2х + а2y
Общият фактор тук е a2. За простота разделяме двата термина на този общ фактор:
- a2x се разделя на a2, което дава x
- a2y се разделя на a2, какво дава и
И накрая, факторизираният израз е:
a2(x+y)
Използване на общия множител при разлагане на полиноми
В много случаи някои членове на полином ще имат a общ фактор, докато други не. В тези сценарии това, което трябва да се направи, е a групиране на термини, така че групираните термини споделят общ фактор.
Например в израза:
xa + ya + xb + yb
Можем да групираме термините по различни начини:
(xa + ya) + (xb + yb)
Ако анализираме групираните термини, можем да наблюдаваме общ фактор във всяка група:
a(x + y) + b(x + y)
И накрая, можем да разложим израза, както следва:
(x + y)(a + b)
Тази техника се нарича „групиране на множители“ и ви позволява да опростявате полиноми, дори когато не всички термини имат еднакъв общ фактор. Трябва да се отбележи, че има повече от един начин за групиране и резултатът винаги ще бъде един и същ. Например, в същия този случай бихме могли да групираме термините, както следва:
(xa + xb) + (ya + yb)
Което отново води до:
x(a + b) + y(a + b)
В крайна сметка получаваме същия резултат:
(a + b)(x + y)
Този процес се подкрепя от комутативния закон, който гласи, че редът на факторите не променя крайния продукт.
Разширени методи: Факторинг с помощта на забележителни продукти
Има и други методи за факторизиране на полиноми, сред които забележителни продукти. Най-често срещаните забележителни продукти са перфектен квадратен трином и тричлен от вида x2 + b x + c. Има и други забележителни продукти, но те са склонни да се прилагат повече към биноми.
Перфектен квадратен трином
Un перфектен квадратен трином Това е полином, съставен от три члена, който е резултат от повдигане на квадрат на бином. Правилото казва, че процесът следва следната структура: квадратът на първия член, плюс два пъти първия член по втория член, плюс квадрата на втория член.
За да разложим тричлен на перфектен квадрат, следваме следните стъпки:
- Извличаме корен квадратен от първия и третия член.
- Разделяме корените със знака, който съответства на втория член.
- Поставяме на квадрат бинома, който се образува.
Да разгледаме един пример:
4a2 – 12ab + 9b2
- корен квадратен от 4а2: 2a
- корен квадратен от 9b2: 3b
Триномът се разлага на множители като:
(2a – 3b)2
Трином на формата x2 + b x + c
Този тип трином има специфични характеристики, които позволяват по-лесното му разлагане. За да бъде факторизиращ трином от тази форма, той трябва да отговаря на следните критерии:
- Коефициентът на първия член трябва да бъде 1.
- Първият член трябва да бъде квадратна променлива.
- Вторият член има същата променлива, но не е на квадрат (има показател 1).
- Коефициентът на втория член може да бъде положителен или отрицателен.
- Третият термин е число, което не е пряко свързано с предишните.
Пример за това факторизиране би бил следният трином:
x2 +9x +14
За да го факторизирате, следвайте този процес:
- Разлагаме тричлена на два бинома.
- Първият член на всеки бином е корен квадратен от първия член на тринома (в този случай „x“).
- Знаците на биномите се задават според второто и третото количество на тринома (в този случай положителни).
- Търсим две числа, които при умножение дават 14, а при събиране дават 9 (вариантите са 7 и 2).
По този начин факторизираният трином е:
(x + 7) (x + 2)
Допълнителни методи: Факторна теорема и правило на Руфини
El факторна теорема заявява, че полином се дели на полином от вида (x – a), ако при изчисляване на оригиналния полином за x = a резултатът е 0. Тази теорема е полезна за намиране на корени на полиноми и улеснява факторизирането. Често се използва в комбинация с Правилото на Руфини, опростен метод за извършване на полиномни деления.
Тези инструменти са особено полезни при работа с полиноми от степен 3 или по-висока, където не е възможно да се приложат прости методи като перфектен квадратен трином или забележителни продукти.
И накрая, важно е да се отбележи, че не всички полиноми могат да бъдат разложени лесно. В някои случаи е необходимо да се прибегне до по-напреднали методи или числени техники за намиране на корените на полинома. Въпреки това, повечето примери, намерени в основната алгебра, могат да бъдат решени с помощта на тези инструменти.
Факторингът е мощен инструмент в алгебрата, защото ви позволява да опростявате сложни изрази и да решавате уравнения по-ефективно. Като овладеем различните методи за разлагане на полиноми, можем да прилагаме по-бързи и по-ефективни решения на голямо разнообразие от проблеми.